lunes, 30 de abril de 2012

Funciones lineales Rango Y Dominio


DOMINIO Y RANGO DE UNA
FUNCIÓN
Función: Una función entre dos conjuntos numéricos es una
correspondencia tal que a cada  número del conjunto de partida le
corresponde una sola imagen del conjunto de llegada.
Así, en la figura siguiente  podemos observar gráficamente el
comportamiento de la función raíz cuadrada de un número.
Del lado izquierdo observamos el conjunto de partida (representado por
los valores que le asignemos a la variable independiente “X”), del lado
derecho observamos el  conjunto de llegada (representado por los
valores que toma la variable dependiente “Y” una vez que se extrae la
raíz cuadrada del valor que se le asignó a “X”) y sobre la flecha está
indicada la relación matemática  (función) que transforma los valores del
conjunto de partida en los valores del conjunto de llegada (imagen).

Dominio de una función : Es el conjunto formado por los
elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” ( variable
independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos
en el eje horizontal   ( abscisas), leyendo como escribimos de izquierda
a derecha.
El dominio de una función está formado por aquellos valores de “X”
(números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x).


Rango de una función: Es el conjunto formado por las imágenes.
Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso
se denomina  “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X".
Gráficamente lo miramos en el eje  vertical  (ordenadas), leyendo de
abajo a arriba.
El Rango de una función es el conjunto formado por las imagenes
f(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dicha
función.
La manera más efectiva para determinar el Rango
consiste en graficar la función y ver los valores que
toma “Y” de abajo hacia arriba.
CÁLCULO DEL DOMINIO Y RANGO  DE FUNCIONES
Vamos a calcular de forma numérica  y gráfica el dominio y rango de
varias funciones para fijar los conceptos anteriores.
FUNCIONES POLINÓMICAS:
Aquellas funciones cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir,
las funciones polinómicas, tienen como dominio todo el conjunto de los
números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, se
puede sustituir el  valor de “X” por cualquier número real que hayamos
elegido y se puede calcular sin ningún problema el número real imagen
“Y”.
Son funciones polinómicas : La recta (función lineal o afín), la parábola
(función de segundo grado) y los polinomios de grado superior.

Dom f(x)=R  Tambien se puede expresar Dom f(x) = (-– ∞ ,  + ∞ )


FUNCIONES RACIONALES :
Para calcular el dominio de este tipo de funciones el primer paso es
igualar el denominador a cero y resolver esa ecuación, una vez resuelta
esa ecuación el dominio estará formado por todos los reales excepto las
soluciones de la ecuación
Dom f(x)=R - (los valores de x que me anulan el denominador (si los ahy )


FUNCIONES IRRACIONALES :
Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un
radical que lleve en su radicando la variable independiente.
Si el radical tiene  índice impar, entonces  el dominio será todo el
conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de X
siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión
que haya en el radicando.
Pero si el radical tiene índice par, para los valores de X que hagan el
radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen.
Cuando queremos hallar el dominio de este tipo de funciones lo primero
que debemos hacer es tomar lo que hay dentro de la raíz y hacer que
sea mayor o igual que cero. A continuación se resuelve esa
inecuación y la solución de dicha inecuación conforma el dominio
de la función.


FUNCIONES EXPONENCIALES :
Son aquellas funciones del tipo f(x)  =  

   donde “a” debe ser un
número mayor que cero y distinto de 1…( a > 0     ;     a     )
Todas las funciones exponenciales tienen como Dominio todos los
números reales.
Dom f(x)  = R
Todas las funciones exponenciales tienen como Rango  todos los
números reales positivos sin incluir el cero.
  Rango  =  ( 0 ,  + ∞ )
Tomando en cuenta lo indicado anteriormente no es necesario realizar
ningún análisis para determinar el Dominio y Rango de una función
exponencial.
Al detectar que es una función exponencial,  podemos afirmar
inmediatamente que :
Dom f(x)  = R
  Rango  =  ( 0 ,  + ∞ )


FUNCIONES LOGARÍTMICAS :
Los logarítmos de números negativos  y el de 0 no existen. Luego,  todas
las expresiones a las que se le pretenda calcular su logaritmo deben ser
mayores a cero.
El procedimiento para calcular su dominio  es bastante similar al de las
funciones  irracionales. Tomamos lo  que hay dentro del logaritmo y
hacemos que sea mayor que cero. A continuación resolvemos la
inecuación y la solución nos da el dominio.
El Rango estará representado por el conjunto de todos los números
reales.


FUNCIONES COMBINADAS
(RACIONALES – IRRACIONALES) :
EJERCICIO 18 :    Determinar Dominio y Rango de
f(x)  =
   
 
Se nos presenta una función racional que en el numerador posee una
función irracional.
Para determinar el Dominio debemos analizar por separado el
numerador y el denominador.
Analizando el numerador :
Como el numerador es una raíz de índice par, la cantidad sub-radical o
radicando tiene que ser mayor o igual a cero
X + 5  ≥ 0     ;     X  ≥   5
Analizando el denominador :
Como  la división por cero no existe, el denominador nunca puede ser
igual a cero. Luego :
X + 3          ;     X    
Estos valores lo traslado a la recta real para visualizar mejor los valores
que se le pueden asignar a la variable “X” y los mismos conformarán el
Dominio de la función estudiada,
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
– ∞ -5 -3 + ∞
Dom f(x)  = [-5,-3)  U  (-3 ,  + ∞ )



Analizando el numerador :
Como el numerador es una raíz de índice par, la cantidad sub-radical o
radicando tiene que ser mayor o igual a cero
X + 2  ≥ 0     ;     X  ≥   2
Analizando el denominador :
Como la división por cero no existe, el denominador nunca puede ser
igual a cero. Luego :
X + 4          ;     X    
Estos valores lo traslado a la recta real para visualizar mejor los valores
que se le pueden asignar a la variable “X” y los mismos conformarán el
Dominio de la función estudiada,
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
– ∞ -4 -2 + ∞
Dom f(x)  = [ -2 ,  + ∞ )


Definición matemática de Relación y de Función
En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango. Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano. Ver: Plano Cartesiano
Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B
Ejemplo 1.
Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.
Solución
El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:
A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}
Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:
R1 = {(2, 1), (3, 1)}
R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
R3 = {(2, 4), (3, 5)}
La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 = {(x, y) / y = 1}.
La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y) / x < y}
Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 = {(x, y) / y = x + 2}
Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.
Ejemplo 2.
Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la relación
R = {(x, y) / x + y = 3}
Solución
El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados
C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (–3, 2), (–3, 3), (–3, 6)}
Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son:
R = {(1, 2), (–3, 6)}
Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C, el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión x + y = 3 es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.
Dominio y rango de una relación
El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango.
Ejemplo 3
Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el doble de x” o “y = 2x”, encontrar dominio y rango de la relación.
Solución
El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:
A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:
R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es preimagen de 4”.
Así, el dominio y rango son:
D = {2, 3, 4}
Rg = {4, 6, 8}
Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?
En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A.
Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango?
La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.
Representación gráfica de las relaciones
Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4
Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la regla
R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R.

Solución
Los pares ordenados que pertenecen a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:
R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
Y la gráfica correspondiente es la siguiente:

Ver: Funciones matemáticas
Fuente Internet: http://netlizama.usach.cl/avcapituloII.pdf Es propiedad: www.profesorenlinea.cl. Registro Nº 188.540

Introducción
Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda (o ninguno), que llamamos imagen o transformado.
A la función se le suele designar por f y a la imagen por f(x), siendo x la variable independiente.
* Variable independiente: la que se fija previamente
Variable dependiente: La que se deduce de la variable independiente.

POR EJEMPLO, LA SIGUIENTE GRÁFICA MUSTRA LA TRAYECTORIA DE UN CUERPO ACELERANDO 0.66 m/s2.
*

Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo. Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s2 recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente. Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.) Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distinos:
Tiempo t (s) Distancia d (m)
0,0 0,0
0,5 0,1
1,0 0,3
1,5 0,7
2,0 1,3
2,5 2,0 La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma información. Cada punto de la curva roja representa una pareja de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia entre puntos y coordenadas del plano cartesiano. También puede utilizarse un regla o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En este caso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la expresión:
d = 0,33 × t2, donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se refleja que existe una dependencia entre ambas magnitudes.
Una función también puede reflejar la relación de una variable dependiente con varias variables independientes. Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleración constante pero indeterminada a, la distancia recorrida es una función entonces de a y t; en particular, d = a·t2/2. Las funciones también se utilizan para expresar la dependencia entre otros objetos cualesquiera, no solo los números. Por ejemplo, existe una función que a cada polígono le asigna su número de lados; o una función que a cada día de la semana le asigna el siguiente:
Lunes → Martes, Martes → Miércoles,..., Domingo → Lunes









Algunos vídeos que aclaran los conceptos:

Concepto de función y relación: http://www.youtube.com/watch?NR=1&feature=endscreen&v=lixFuzigJR0

Profesor Julio. Dominio de algunas funciones: http://www.youtube.com/watch?v=qOCMPXoxJyg&feature=related

BIBLIOGRAFÍA: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica










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